Aku ucapkan selamat kalian telah sampai portal ini. Kali ini, pikirkanlah: ada suatu triplus, dengan formula tiap-tiap triplus adalah 2mn, m2 + n2, dan m2 - n2.
Ketahuilah triplus apa itu. Bila sudah, pikirkanlah dua puluh enam triplus tersebut yang berjenis primitif. Bariskan triplus-triplus tersebut dengan bilangan terkecil didahulukan terlebih dahulu.
29420421; 28195197; 25312313; 27364365
15112113; 345; 202129; 94041
123537; 345; 2099101; 345
25312313; 335665; 345; 2099101
Keduapuluh enam yang urut akan menjadi huruf A hingga Z untuk menggantikan empat kali empat angka-angka di atas. Rekatkan abjad dari lontar ke piramida 1-3-5-7.
Aku juga mengajukan maaf. Mungkin ganjil, bila membuat kalian terkenang akan hal yang kalian kenal yang kini tak lagi prima.
Namun pilihan kalian, bila ingin terus melaju, bawa lontar bertuliskan pertanyaan ini, untuk dimasukkan ke soket di sekat selanjutnya, pada pertemuan dwi pentagon.
Sementara Ragunanzu membaca teki-teki di kertas lontar, aku telah membuat coretan di kertas miliknya yang tadi telah aku kantongi. Ia berkata, “Triplus, bahasa Latin dari istilah ‘tripel’. Dua m kali n, m kuadrat ditambah n kuadrat, m kuadrat dikurangi n kuadrat, menunjukkan yang dimaksud adalah tripel Pythagoras. Angka 345, yang pertama, menunjukkan huruf A.” Ragunanzu menambahkan komentar, “Setelah kotak ajaib yang kugunakan untuk emblem Adhi Makayasa-ku, sekarang dalil Pythagoras di emblemmu.”
Tentu saja Ragunanzu sudah paham maksud teka-teki dan sudah tahu apa yang sedang kutulis di kertasnya. Tripel, adalah istilah yang bisa berarti ‘sesuatu yang terdiri dari tiga’. Tripel Pythagoras adalah kumpulan dari tiga bilangan bulat positif atau bilangan asli dengan ketiga bilangan tersebut dapat memenuhi persamaan dari teorema Pythagoras: a2 + b2 = c2, atau kuadrat dari panjang alas suatu segitiga siku-siku ditambah kuadrat dari panjang tinggi segitiga sama dengan kuadrat dari sisi miring atau hipotenusa segitiga tersebut.
Dalam sejarah, catatan tripel Pythagoras sendiri sudah ditemukan pada catatan tanah liat bangsa Babilonia yang diperkirakan dibuat sekitar tahun 1800 Sebelum Masehi. Catatan yang kini disebut sebagai ‘Plimpton 322’ memiliki ukuran kurang lebih: panjang 13 cm, tinggi 9 cm, dan ketebalan 2 cm. Pada catatan tersebut, tertulis triple Pythagoras dengan sistem angka ‘sexagesimal’ atau sistem basis 60 atau sistem bilangan yang menggunakan angka 60 sebagai dasarnya. Sistem basis 60 pada era ini masih digunakan untuk penghitungan waktu dari detik, menit, dan jam, juga digunakan untuk pengukuran sudut dan derajat koordinat.
Teorema Pythagoras, namanya diambil dari nama rasayanas bernama Pythagoras yang hidup sekitar abad 6 Sebelum Masehi. Meskipun demikian, diperkirakan relasi antara kuadrat sisi miring dengan kudrat alas dan tinggi pada segitiga siku-siku sudah diketahui bangsa Babilonia sekitar tahun 1900 atau Sebelum Masehi alias hampir dua milenium sebelum tahun 1 Masehi. Meski demikian, hubungan ketiga sisi segitiga siku-siku tersebut tidak disebutkan secara eksplisit, sementara Pythagoras sendiri mempublikasikannya secara eksplisit. Pythagoras sendiri, dikabarkan mebuat perayaan dengan memberikan persembahan kepada dewa berupa sekumpulan hecatomb atau seratus ekor lembu jantan, sewaktu menemukan sendiri theorema tersebut.
Pada teorema Pythagoras, kumpulan tiga angka yang terdiri bilangan seperti 1, 1, dan akar dari 2 memang memenuhi persamaan Pythagoras, karena 12 + 12 = (akar 2)2. Namun, kumpulan bilangan seperti itu tidak bisa dikatakan sebagai tripel Pythagoras karena akar 2 bukan merupakan bilangan asli. Tambahan lagi, akar 2 dan 1 tidak mempunyai kelipatan persekutuan terkecil karena akar 2 adalah angka irasional, berbeda dengan bilangan-bilangan tripel Pythagoras yang mempunyai angka kelipatan persekutuan terkecil.
Sesuai yang tertulis pada teka-teki di kertas lontar, tripel Pythagoras dapat dicari dengan rumus 2mn, m2 + n2, dan m2 - n2 untuk masing-masing ketiga angka. Lebih lengkapnya: bilangan m dan n yang dipilih merupakan bilangan asli, dengan nilai m lebih besar dari n. Alas dan tinggi segitiga dapat dicari dengan rumus m2 - n2 dan 2mn, atau kebalikannya, alas segitiga dicari dengan rumus 2mn dan tinggi segitiga dicari dengan rumus m2 – n2. Sementara sisi miring segitiga dapat dicari dengan rumus m2 + n2.
Dengan rumus tersebut, misalnya bila kita memilih m adalah angka 2 dan n adalah angka 1, maka akan didapatkan:
- m2 – n2 = 22 – 11 = 3
- 2mn = 2(2)(1) = 4
- m2 + n2 = 22 + 11 = 5
Dengan m dan n bilangan asli terkecil yang memenuhi syarat m > n, atau m = 2 dan n = 1, dapat ditemukan tripel Pythagoras pertama adalah 3,4, dan 5.
Sementara tripel Pythagoras jenis primitif, yang ditulis pada teki-teki, adalah sebuah tripel Pythagoras dengan ketiga bilangannya merupakan bilangan-bilangan ‘koprima’. Istilah koprima dapat juga disebut dengan istilah ‘relatif prima’ atau ‘saling prima’. Angka-angka dapat dikatakan koprima, apabila faktor persekutuan terbesar bilangan-bilangan tersebut adalah 1.
Bilangan koprima, misalnya adalah bilangan-bilangan 3, 4, dan 5, karena faktor persekutuan terbesar (3,4,5) = 1. Sesuai yang tadi telah disebutkan Ragunanzu, bilangan 3, 4, dan 5 adalah bilangan tripel Pythagoras pertama yang juga tripel Pythagoras bertipe primitif yang pertama.
Daftar tripel Pythagoras primitif hingga urutan keduapuluh enam yang aku tulis aku tunjukkan Ragunanzu, sambil menyarankan, “Gun, aku sudah membuat tripel-nya sampai abjad Z. Kau sebutkan angka-angka di lontar itu, aku temukan hurufnya dan sekalian kupasang, karena aku cuma membawa kertas yang mudah dilipat.”
1. 3, 4, 5 A
2. 5, 12, 13 B
3. 7, 24, 25 C
4. 8, 15, 17 D
5. 9, 40, 41 E
6. 11, 60, 61 F